BAB I
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
1. Bentuk Pangkat Positif, Negatif Dan Nol
2. Bentuk Akar Dan Pangkat Pecahan
3. Penjumlahan, Pengurangan Dan Perkalian
Bentuk Akar
4. Merasionalkan Bentuk Akar
5. Mengubah Bentuk Pangkat Ke Bentuk
Logaritma Dan Sebaliknya
6. Menentukan nilai logaritma dengan
grafik, tabel dan kalkulator
7. Sifat- Sifat Logaritma Dan Penggunaan
Dalam Perhitungan Aljabar.
LEMBAR KERJA SISWA 1
Mata
Pelajaran : Matematika
Uraian
Materi pelajaran : Bentuk pangkat
positif, negatif dan nol
Kelas/Semester :
X / Gasal
Waktu : 3 x 45 menit
___________________________________________________________
MATERI :
1. PANGKAT BULAT POSITIF
Proses
perkalian bilangan berulang dapat ditulis sebagai :
3
x 3 x 3 x 3 x 3 = 35
35
disebut bilangan berpangkat
3
disebut bilangan pokok
5
disebut pangkat
|
Latihan
1.
1.
Tuliskan perkalian berulang dengan notasi pangkat !
a.
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = ….
b.
a x a x a x a = …..
c.
3 x 3 x y x y x y = ……
2.
Tuliskan tanpa menggunakan pangkat !
a.
(-1)3 = ….
b.
4 p3 = ….
c.
32 + 53 = ….
d.
(2m) 3 = ….
Sifat-sifat
bilangan pangkat bulat positif
1.
Tentukan hasil perkalian bilangan pangkat
a.
34 x 35 = 3 x 3 x
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3… = 3…+…
4 faktor 5 faktor
b. a4 x
a 3 = a x … x a x a x…..
= a x a x …… x a = a …
= a …+…
… faktor …faktor …faktor
Kesimpulan
apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas ?
|
2.
Tentukan hasil pembagian bilangan berpangkat :
a. 35 3 x …x…x…x….
¾ =
¾¾¾¾¾¾ = 3
…
32 ….. x 3
35
¾ = 3… = 3 …+…
32
b. p7 p x … x … x …
¾ = ¾¾¾¾¾¾ = p
…
p5 p x ….. x p
p7
¾ =
p… = p …
- …
p5
Kesimpulan
apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas ?
|
3.
Tentukan hasil perpangkatan bilangan berpangkat !
a. (23)2 = 23 x 23 = (2 x
… x …) x ( 2 x … x …) = 2 …
(23) 2 =
2 … = 2 …x…
a 2 x a 2 x … x … x … (axa) x (axa) x …. x….x (axa)
b. (a2)5 = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ =
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
5 faktor …
faktor
a x a x a x… x … x … x a
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ =
a …
…. faktor
(a2)5 =
a … = a … x …
Kesimpulan
apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas?
|
4.
Tentukan hasil perpangkatan pada perkalian bilangan.
a. (4 x 3)3 = (4 x 3) x (… x …) x (… x…)
= (4 x … x … ) x (3 x … x …) =
4 … x 3…
b.
(a x b)4 = (a x b) x ( … x …) x (… x …) x (a x b)
= (a x … x … x … ) x (b x … x
… x … ) = a… x b …
Kesimpulan
apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas?
|
5.
Tentukan perpangkatan dari hasil bagi
dua bilangan
2 x … x … 2 …
a. (2/3)3 =
(2/3) x (….) x ( …) = ¾¾¾ ¾ = ¾¾
3 x…x… 3 …
a x… x… x… a …
b. (a/b) 4 =
(a/b) x (….) x ( ….) x ( ….)
= ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾
b x… x…x… b…
Kesimpulan
apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas?
a n
a …
¾ =
¾¾
b b …
Dari hasil
nomor 2 (a – b) di atas ditemukan sifat-sifat bilangan berpangkat bulat
positif, untuk a,b bilangan real
dan m,n bulat positif maka berlaku sifat :
- am x an = …
- am : an = …
- (am)n = ….
- ( a x b )n = …
- ( a/b )n = ….
2.
PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL
Perhatikan sifat
am : a n =
a m – n dan definisi bilangan berpangkat :
a n = a x a x a x ………. x a
¾¾¾¾¾¾¾¾¾
n faktor
Perhatikan
hasil pembagian bilangan
berpangkat a3 : a5
1.
dengan menggunakan definisi perpangkatan :
a3 a x a x … 1 1
¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾¾
a5 a x .. x …x…x… a x … a …
2.
dengan menggunakan rumus :
a3
¾¾
= (a) … - … = a …
a5
1
1
Dari
1 dan 2 didapat a –n = ¾¾
dan an = ¾¾
a… a –n
Jika
m = n maka :
a.
dengan menggunakan rumus a m
: a n = a … - … =
a …
b.
dengan definisi pangkat a m a n
¾¾ = ¾¾ = ….
a n …
Kesimpulan
apa yang dapat diambil ?
|
Latihan
3.
1. Tuliskan dalam
bentuk pangkat positif.
a.
2-6
b.
3-5
c. 4/(2)-3
d.
a-2. b-3
e.
1/3. a3 . b–4
f. 7. p-5. q2
g. a2 . b-3
a-1. b5
h.
(2.y-2.z)-4
i. a2 -2
------
2.b-3
2. Hitunglah :
a. 3 –2
b.
1/(5–2)
c.
(1/2)-3
d.
3/(2–2)
e.
25 x 5-3
f. 3–2 x 4–2
g.
(5-1)/2
h.
8 x 4–2
i. 5-4 x 2-1
j.
(0,2) –4
LEMBAR KERJA SISWA 2
Mata Pelajaran : Matematika
Uraian Materi Pelajaran : Bentuk akar
dan pangkat pecahan
Kelas/Semester : X / Gasal
Waktu : 3 x 45 menit
MATERI :
1. PENGERTIAN BENTUK AKAR
a. Diketahui sebuah segitiga siku-siku
ABC , panjang sisi AB = 1, BC=1 (lihat
gambar)
A Dengan
menggunakan rumus phitagoras
dapat dihitung panjang sisi miring (AC)
(AC)2 = (AB) 2 + (BC)
2
= 12 + 12
B C = Ö2
panjang sisi AC dinyatakan dalam bentuk akar Ö2 = 1,414213562 ...... (dengan kalkulator)
b. Hitung nilai dari suatu pecahan 1/3.
1/3 = 0,333333….. (
dgn kalkulator)
Dari kasus kedua di atas dapat dilihat bahwa bentuk pecahan
1/3 dan bentuk akar Ö2 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
berulang.
1/3 = 0,33333……….
(angka 3 dibelakang koma selalu berulang)
Ö2
= 1,414213562 …(tidak dapat dinyatakan
dalam bentuk desimal berulang).
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal
berulang disebut bilangan rasional, bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam
bentuk pecahan desimal berulang disebut bilangan irrasional.
Berilah contoh –contoh bilangan rasional dan bilangan
irrasional.
Bilangan rasional :
…..
Bilangan irrasional :
….
Perhatikan . Ö3 =
1,732050808… (tak berulang dan tak terbatas)
Ö4 = 2
Ö4
disebut bilangan rasional dan bukan bentuk akar dan Ö3
bilangan irrasional dan disebut bentuk akar.
Jadi bentuk akar merupakan akar dari suatu bilangan riil
positif yang hasilnya bukan merupakan bilangan rasional.
Latihan 1.
|
No
|
Bilangan
|
Bentuk
akar
Ya
atau Tidak
|
Alasan
|
|
1
|
Ö
8
|
|
|
|
2
|
Ö
9
|
|
|
|
3
|
Ö
16
|
|
|
|
4
|
Ö
18
|
|
|
|
5
|
Ö
25
|
|
|
|
6
|
Ö
27
|
|
|
|
7
|
Ö
45
|
|
|
|
8
|
Ö
50
|
|
|
|
9
|
Ö
269
|
|
|
|
10
|
Ö
(16/25)
|
|
|
2. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR
Untuk setiap a,b bilangan bulat positif maka berlaku :
a.
Ö(axb)
= Öa
x Öb dengan a atau b harus dapat dinyatakan
dalam bentuk kuadrat
b.
a ³
0 ,
b >
0
a ³
0 ,
b >
0
Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar
dalam operasi aljabar maka bentuk akar dituliskan dalam bentuk akar yang paling
sederhana.
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut !
1.
Ö12 = Ö(3x4) = Ö4
x Ö3 = 2xÖ3 = 2Ö3
2.
Ö8a2 = Ö(
4 x 2 x a2 x a ) = Ö4a2
x Ö2a = 2aÖ2a
Latihan
2.
Sederhanakan
bentuk akar berikut !
1.
Ö24 2. Ö45 3. Ö12 4. Ö9a3
5.
Ö20p2 6. Ö125 7.
Ö0,48 8. Öa6.b2.c3
9. 
10. Ö1/27 11. Ö50
a2b2
12. 
10. Ö1/27 11. Ö50
a2b2
12.
3.
MENYATAKAN BILANGAN PANGKAT PECAHAN
DALAM BENTUK AKAR DAN SEBALIKNYA
Definisi dan sifat-sifat bentuk pangkat pecahan.
a. Ö2 = 2a
(Ö2)
2 = (2a) 2 kedua ruas dipangkatkan
gunakan sifat (am)n = a mxn
2 = 22a
(2 = 21)
21 = 22a
Þ 1
= 2a Þ a
= ½
|
Beberapa konsep
1.
Öa = a1/2
2.
3Ö = a1/3
3.
7Öa = a1/ 7
4. dan seterusnya dan didapat
nÖa = a1/n
dari
nÖa
= a1/n maka nÖam = (am)1/n
= (a)mx1/ n
= (a)m / n
|
dengan a ³
0 , m , n bilangan bulat positif
Ingat! Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan
pangkat bulat positif berlaku juga pada bilangan pangkat pecahan.
1.
am x a n = am+n
2.
am : a n = am-n
3.
(am) n = amn
4.
(a x b) n =
an . b n
5. (a/b) n = a n / b n
6. a-n = 1 / a n
Contoh
:
Ubah
bentuk akar menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya.
1. 3Öy2
= (y2) 1/ 3 = (y2.1/
3 ) = y2/ 3
2. 5Öa.b = (a.b) … = a…x b…
3. 3Öa.4Öb = a…x b…
4. 122/3 = (12 2) … = 3Ö
12…
5. 2. a2/ 3. b1/ 3 = 2.
….x……
Latihan
3.
I. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat !
1.
Ö5 2. 3Ö16 3. 5Öp4
4. Ö(3xy)5
5.
Ö76.
6Ö7 6. Ö2
-3 7.
2Ö1/a 8. 3x .4Öx3
II.
Ubah bentuk pangkat menjadi bentuk akar !
1. 71/ 2 2. 122/ 3 3. a-3/ 2 4. x1/2 . y1/
2
5. 2.a2 /3.b1/ 3 6. (m2.n2)5/ 3 7. 1/7 8. 1/a-3
III. Dengan menggunakan sifat-sifat
pada pangkat pecahan sederhanakan operasi-operasi aljabar berikut !
1. 21/3 x 21/5
2. a2/ 3 : a7/
3
3. (32/ 3)3/ 4
4. (27)-2/3
5. (2 x 3)3/4
6. (0,25)0,5 + (0,04) 0,5
7. 2x16-1/ 2 + 27 4/ 3 –
3x16 0
8. Ö(27)
-2/ 3 + 5 2/ 3x 51/ 3
9. Jika p = 8 , q = 4 dan r = 9
hitung 3p-1/ 3 q2
r -3/ 2
10.
Jika p = 8 dan q = 9 hitung 2p-1/ 2 + q 4/ 3 – 3p 0
LEMBAR KERJA SISWA 3
Mata Pelajaran : Matematika
Uraian
Materi Pelajaran : Penjumlahan,
Pengurangan dan Perkalian
Bentuk Akar
Kelas/Semester : X /
Gasal
Waktu :
2 x 45 menit
___________________________________________________________
MATERI :
1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR
Sifat
! a.b + a.c = ( b + c ) a
a.b – ac = ( b – c ) a
3a + 2b = tidak
dapat dijumlahkan karena peubah a
begitu pula dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.
Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangi jika sejenis.
Kedua sifat ini berlaku juga untuk penjumlahan dan
pengurangan bentuk akar.
aÖc + bÖc = ( a +
b ) Öc
aÖc - bÖc = ( a
– b ) Öc
Contoh :
1. 3Ö7
+ 2Ö7 = ( 3
+ 2 ) Ö7
= 5 Ö7
2. 4Ö3
- Ö3 = ( 4
- … ) Ö3
= …Ö3
3. Ö18
- Ö8 = Ö(…x
2 ) - Ö(…x
2) = …Ö2
- …Ö2
= (… - …)Ö2
= ……
4. 7Ö5
-2Ö5
+ Ö5
= ( … - … + … ) Ö5
= ……
5. Ö2
+ Ö3
- 5Ö2
+ 2Ö3 = (Ö2
- …Ö2)
+ (Ö3
+ …Ö3)
= ….Ö2
+ …Ö3
( tidak dapat
dijumlahkan kenapa? )
Latihan 1.
Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut
!
a.
5Ö3
+ Ö3
b.
3Ö5
+ 5Ö5
- 2Ö5
c.
Ö63 + Ö7
- Ö28
d.
Ö125 - Ö45
+ 20
e.
(9/2) Ö3
+ (1/2) Ö27
2.
PERKALIAN BENTUK AKAR
Pada
sifat bentuk akar berlaku Ö(a
x b) =
Öa
x Öb ,
dengan a , b ³ 0
Contoh
:
1.
Ö2 x Ö3 = Ö(2x3) = Ö6
2.
3Ö2
x 5Ö3 = (3 x 5) Ö(2x3) = 15Ö6
3.
Ö8 x Ö10 = Ö(8x10) = Ö80 = Ö(16x5) = Ö16
x Ö5 = 4Ö5
Rumus-
rumus aljabar seperti :
1.
a ( b + c ) = a.b
+ a.c
2.
( a + b ) 2 = a2
+ 2 ….. + b2
3.
( a – b ) 2 = … -
2 …. + ….
4.
(a + b) ( a – b) = a2
- b2
5.
(a + b) (c + d) = a.c
+ … + ….+ b.d
Contoh
:
1.Ö3
(Ö2
+ 2Ö3)=(Ö3xÖ2)
+ Ö3x2Ö3
= Ö(3x2)
+ 2xÖ3xÖ3
= Ö6
+2.3= Ö6 6
2.
(Ö2
+ 1) 2 = (Ö2)
2 + 2x ….x1 +12 = … + 2
… + … +… + … ( rms. 2 )
3.
(Ö3
– 2) (Ö3
+ 2) =
(Ö3)
2 – 22 = …. – …. = …… (rms 4)
4.
(Ö5+4)
(Ö3+2)
= Ö5
xÖ3
+…Ö3
+ …Ö5
+ 4x2 = Ö…
+... +… + 8 (rms.5)
Latihan
2.
Sederhanakan
!
1.
Ö8
(Ö2
+ 3)
2.
(Ö3
- Ö5
)2
3.
(3Ö2
+ 1 ) 2
4.
(2Ö3
+ Ö2
) (2Ö3
-Ö2)
5.
(Ö2
+3) (Ö2
– 5)
6.
( 3Ö12
–2) Ö2
7.
(2Ö3
- 4Ö6)(2Ö2
+ 3Ö6)
8.
Ö5
(2- 3Ö2)
2
LEMBAR
KERJA SISWA 4
Mata pelajaran :
Matematika
Uraian Materi Pelajaran : Merasionalkan bentuk akar
Kelas/Semester :
X / Gasal
Waktu :
2 x 45 menit
__________________________________________________________
MATERI :
A.
MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK 
Ö2 =
1,4142….. jika dihitung dengan
menggunakan kalkulator.
Bagaimana jika membagi sebuah bilangan dengan Ö2 ?
Contoh :
(perhitungan seperti
ini sulit jika tidak menggunakan
kalkulator)
Untuk
memudahkan perhitungan ada cara yang
mudah yaitu dengan merasionalkan penyebut, contohnya :
Merasionalkan
bentuk , dengan b> 0
(ingat sifat Öa
x Öa
= a)
, dengan b> 0
(ingat sifat Öa
x Öa
= a)
a a Öb aÖb a
¾ =
¾ x ¾ =
¾ =
¾ Öb
Öb Öb Öb b b
Contoh
: Rasionalkan penyebut bentuk pecahan
berikut !
1). 1 1 Ö3 Ö
3
¾ =
¾ x ¾ = ¾
Ö
3 Ö
3 Ö3 3
2). 2 2 …
2…
¾ = ¾ x ¾ = ¾
Ö8 Ö8 …
….
3. 10
10 … 10 x … ….
¾ = ¾ x ¾ = ¾¾ = ¾¾
2Ö2 2Ö2 Ö2 …. ….
Latihan
1.
a. 8
b. 3 c.
5Ö2 d. 3Ö3 e. 4
¾ ¾¾ ¾¾ ¾¾ ¾¾
Ö2 5Ö3 2Ö5 Ö12 5Ö3
c c
B. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK ¾¾
DAN ¾¾¾
a ±
Öb Öa ± Öb
Perlu
diingat kembali bahwa ( a + b ) ( a – b ) = a2
– b2
( a – b ) ( a + b) = a2
– b2
(
a – b ) disebut kawan dari ( a + b )
(
a + b ) disebut kawan dari ( a – b )
Hasil kali dari pasangan sekawan selalu menghasilkan
bilangan rasional.
Perhatikan
perkalian dari :
(
a +Ö
b ) ( a – Öb
) = a2 - (Öb)
2 = a2 – b
(Öa
+ Öb)
(Öa
– Öb
) = (Öa)
2 - (Öb)
2 = a – b
Terlihat
di atas ( a + Öb
) sekawan dengan ( a - Öb
)
(Öa
+ Öb
) sekawan dengan (Öa
- Öb
)
Contoh
: tentukan sekawan dari
1.
1 + Ö5 sekawannya 1 - Ö5 berikan alasannya!
2.
Ö3
– 8 sekawannya ……..
3. 4 + Ö7 sekawannya ……..
4. Ö2
- Ö6 sekawannya .…….
5. 2Ö3
+ 1 sekawannya ……..
6. 1 - 5Ö3 sekawannya …….
7. 3Ö6
+ Ö2 sekawannya …….
8. 2Ö5
- Ö3 sekawannya …….
Merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa jumlah
atau selisih dari dua bilangan adalah dengan mengalikan baik pembilang dan
penyebut dengan pasangan bentuk sekawan.
Contoh
:
1. 10
10 4 + Ö6 10 ( 4 + Ö6
) 10 ( 4 + Ö6
) 10 ( 4 + Ö6
)
¾¾ =
¾¾ x ¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾
4+ Ö6 4 + Ö6 4 + Ö6 (4)2 – (Ö6)
2 16 – 6 10
2. 2 + Ö5 2 + Ö5 2 + Ö5 ( 2 + Ö5
) 2 22+ 2x2xÖ5
+ (Ö5)
2
¾¾¾ = ¾¾¾
x ¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾ =
2 - Ö5 2 - Ö5 2 +Ö5
(2) 2 – (Ö5)
2 4 – 5
4 + 4Ö5
+ 5 9 + 4Ö5
¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾
= -9
- 4Ö5
-1 -1
3. 5
5 …. + …. 5 ( … + ….) ( …. + ….) …..
¾¾
= ¾¾ x ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾
Ö6
+ Ö7 Ö6
+ Ö7 Ö6
- Ö7 ( … ) 2 – ( …)2 …
- ….. …….
4.
Ö3 Ö3 Ö3
– Ö2 Ö3
( … - ….) Ö3
( … - …)
¾¾ = ¾¾ x ¾¾ = ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾
= ...
Ö3
+ Ö2 Ö3
+ Ö2 … - …
( …)2 – ( … ) 2 … - … …..
Latihan 2.
Rasionalkan bentuk akar di bawah ini.
1.
3 2.
2
3. 7
¾¾ ¾¾¾ ¾¾¾
2 + Ö5 Ö3
– 1 5 +
3Ö2
4.
5 5. Ö5 6 Ö5
– Ö2
¾¾ ¾¾¾ ¾¾¾
Ö6 - Ö7 Ö5
- Ö6 Ö5
+ Ö2
p q
7.
Hitunglah p + q ; p –
q ; p x q ; ¾ ; ¾ jika :
q p
4 9
a.
p = ¾¾¾ dan
q = ¾¾
Ö3
+ 2 2
1 1
b.
p = ¾¾¾ dan
q = ¾¾¾
2 + Ö3 2 - Ö3
Ö2 -Ö2
c.
p = ¾¾¾ dan
q = ¾¾¾
Ö
2 + 2 Ö2
+ 2
LEMBAR KERJA SISWA 5
Mata pelajaran : Matematika
Uraian
Materi Pelajaran : Mengubah bentuk
pangkat ke bentuk
logaritma dan sebaliknya
Kelas / semester : X / Gasal
Waktu :
2 x 45 menit
___________________________________________________________
MATERI :
1. MENGUBAH BENTUK PANGKAT KE BENTUK LOGARITMA DAN
SEBALIKNYA.
Pada pembahasan yang lalu, anda diminta untuk menentukan
nilai-nilai bilangan berpangkat, misalnya :
22 =
4
32 =
9
3-1 =
1/3
51/2 = Ö5
Sekarang bagaimana menentukan pangkatnya jika bilangan pokok
dan hasil perpangkatannya diketahui ?
2
… = 16
5
… = 25
10
… = 100
16
… = 4
Masalah
di atas dapat diselesaikan dengan
menggunakan notasi logaritma
2
… = 16 ditulis 2log
16 =
….Þ 2 log 16 = 4
karena 24 = 16
5
… = 25 ditulis
5log 25 = … Þ
5 log 25 = 2
karena 52 = 25
16…= 4
ditulis 16log 4 = … Þ 16log 4
= ½ karena 161/2 = 4
dari permasalahan tersebut terlihat ada hubungan antara
perpangkatan dengan logaritma, yaitu logaritma adalah invers dari perpangkatan.
|
a =
bilangan pokok dengan syarat a >
0 dan
a ¹
1
c =
numerus ( bilangan yang dicari logaritmanya ) syarat
c >
0
b =
hasil logaritma , syarat bias
positif atau negatif atau nol
Contoh : tuliskan dalam bentuk
logaritma pada bilangan berpangkat dan sebaliknya.
- 3 5 = 234 Þ 3 log 234 = 5
- 42 = 16 Þ 4 log 16 = 2
- 5-2 = 1/25 Þ 5 log 1/25 = -2
- 72 = 49 Þ 7 log … = …
- 51/2 = Ö5 Þ 5 log … = ….
- 3 log 81 = 4 Þ 3 4 = 81
- b. 2 log 16 = 4 Þ 2 … = 16
- c. 3 log 27 = 3 Þ 3 … = ….
- log 1000 = 3 Þ …3 = …
- 5 log 1/5 = -1 Þ … -1 = .....
Latihan
1
Tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat dan
sebaliknya
1. 30 =
1
2. 2 n =
8
3. a2/ 5 = 4
4. 9-1/ 2 = 1/3
5. 5 log 1/125
= -3
6. 2 log 6 = x
7. a log ¼ = -2
8.3
log Ö3 = ½
2.
MENGHITUNG NILAI LOGARITMA
a. 3log 27
= x Þ ubah ke bentuk pangkat 3 x = 27
maka x = 3
jadi
3 log 27 = 3
b. 5 log 5 =
y Þ ubah ke bentuk pangkat 5 y =
5 maka y = 1
jadi
5 log 5 = 1
Tentukan nilai :
1. 4 log 2
= ….
2. 2 log ½ = ….
3. log 10.000
= …
4. 4 log 64 = …
5 . 5
log 125 = …
6. ½
log 1/8 = …
7. 3 log 81 = …
8. 3 log 1/9 = …
9. log 100
= …
10. 4
log ¼ = …
11. 3
log Ö3 = …
12. 7
log 49 = ….
13. 81 log 9 = ….
14. ½ log 4 = ….
15. 6 log 36
= ….
LEMBAR KERJA SISWA 6
Mata Pelajaran : Matematika
Uraian
Materi Pelajaran : Menentukan nilai
logaritma dengan grafik,
tabel dan kalkulator
Kelas/Semester : X /
Gasal
Waktu :
2 x 45 menit
___________________________________________________________
MATERI :
I. MENENTUKAN NILAI LOGARITMA
Anda
telah mempelajari dan memahami LKS 5, telah dibahas beberapa contoh dan latihan
menentukan bilangan–bilangan logaritma yang bias langsung ditentukan nilainya,
karena bilangan tersebut merupakan hasil dari perpangkatan dari bilangan
pokoknya. Seperti :
2log 4 =
2 sebab 4
= 22
3log81 = 4
sebab 81 = 34
Bagaimana
jika kita menghitung nilai 2log 7
= x ?
Terlihat
bahwa bilangan 7 tidak bias diperoleh secara langsung dari 2x.
Ada
beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai x tersebut, yaitu :
a.
dengan menggunakan grafik y = a
x , a >
1 atau
0 <
a <
1
b.
dengan menggunakan tabel
c.
dengan menggunakan kalkulator
1. Menentukan nilai
logaritma dengan menggunakan
grafik y = a
x , dengan a >
1 atau 0 <
a <
1
Contoh : tentukan nilai 2 log 6 dengan menggunakan grafik !
Langkah-langkah :
1. Menentukan
grafik yang akan digunakan
2 log 6 =
x Û 2 x =
6 sehingga grafik yang digunakan y
= 2 x
2. Membuat tabel
yang menyatakan hubungan x dan
y = 2 x
Tabel hubungan x dan y
|
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
Y
= 2 x
|
1
|
2
|
4
|
8
|
16
|
|
(
x , 2 x )
|
(
0,1 )
|
(
1,2 )
|
(
2,4 )
|
(
3,8 )
|
(
4,16)
|
3.
melukis grafik y = 2
x
4. lihat bilangan 6 pada sumbu y, tarik garis sejajar sumbu
x hingga memotong grafik.
5. pada titik perpotongan tarik garis
sejajar sumbu y sehingga memotong sumbu
x
6. titik perpotongan dengan garis
sejajar sumbu y pada sumbu x adalah
hasil dari 2 log 6 yaitu
2, …
jadi 2log 6 = 2,
… ( pembulatan satu desimal)
Gambar grafik :
 |
Latihan 1
1.
Lukis pada kertas millimeter grafik y
= 2 x untuk menentukan
nilai
a. 2 log 3 b.
2 log 5 c. 2
log 7 d. 2 log ½
2.
Lukis pada kertas millimeter grafik
y = 3 x untuk menentukan nilai
a. 3 log 5 b.
3 log 7 c. 3
log 9 d. 3 log 12
2a. Menentukan nilai logaritma bilangan antara 1
dan 10 dengan menggunakan tabel
Tabel logaritma
menyajikan logaritma dengan bilangan pokok 10 dan e
(logaritma natural yang disingkat dengan ln )
Pada tabel kita hanya dapat menentukan nilai logaritma
dengan bilangan pokok 10, sedang untuk bilangan pokok lain dapat ditentukan
dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.
Logaritma dengan pokok 10 , misalnya
10 log x , dapat ditulis log x.
Pada tabel logaritma disajikan nilai-nilai logaritma untuk
bilangan 1 sampai 10, dapat dilihat langsung nilai yang dimaksud.
Misalnya: log 1,03 = 0,0128
(lihat tabel )
log 2,04 = 0,3096
log 6,25 = 0,7959
Keterangan tabel :
1. kolom N memuat bilangan logaritma antara 1 sampai
10
2. Kolom 0 sampai 9
memuat mantis yaitu bagian
desimal yang menyatakan hasil logaritma suatu bilangan dengan pokok 10
Contoh
1. log 1,03
= 0,0128
ß
karakteristik
mantis
karakteristiknya adalah 0, yaitu bilangan yang
dilogaritmakan terletak antara 1-10
mantisnya adalah
0128, yaitu bagian desimal hasil logaritma dengan pokok 10
2. log
25,3 = 1,4031
karakteristiknya adalah 1, yaitu bilangan yang
dilogaritmakan terletak antara 1-100
mantisnya adalah 4031
2b. Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan
kalkulator.
Kalkulator yang kita butuhkan dalam menghitung nilai
logaritma adalah kalkulator yang mempunyai fasilitas log. Langkah-langkahnya
tergantung pada type kalkulatornya.
Coba anda sebutkan langkah-langkah dalam menentukan nilai
logaritma dengan kalkulator sesuai type kalkulator yang anda punya.
1.
...
2.
...
3.
...
4.
...
1. Tentukan nilai
logaritma berikut dengan menggunakan
tabel.
a.
log 7,75 b. log 5,58 c. log 8,66 d. log 3,49 e. log
9,17
f.
log 20,5 g. log 75,2 h. log 62,9 i. Log 123 j. log 350
2.Tentukan nilai
logaritma berikut dengan kalkulator.
a.
log 1,79 b. log 4,57 c. log 8,65 d. log 12,6
e.
log 80,1 f. log 325 g. log 675 h. log 930
II. MENENTUKAN ANTILOGARITMA SUATU BILANGAN
Menentukan
Antilogaritma Suatu Bilangan Antara 0 dan 10 Dengan Tabel.
Antilogaritma
merupakan kebalikan dari logaritma yaitu menentukan bilangan bila diketahui
nilai logaritmanya.
Contoh tentukan nilai x dari logaritma berikut :
log
x =
0,2718 maka x =
antilog 0,2718
caranya dengan tabel logaritma ( lihat dan simak tabel log )
cari bilangan 2718 dalam tabel log , yaitu terletak pada kolom 7, kemudian telusuri ke kiri pada baris
sampai kolom N , diperoleh
angka 1.8 maka bilangan tersebut
adalah 1,87.
Jadi antilog 0,2718
= 1,87
2.
log x =
0,3538
log
x =
0,3538 maka x =
antilog 0,3538
caranya dapat digunakan tabel antilog (lihat dan simak tabel
antilog)
cari bilangan 0,35 ( pada tabel 35 ) pada kolom x tabel antilog. Telusuri baris ke kanan
sampai kolom 3, didapat angka 2254,
kemudian pada baris telusuri lagi ke kanan sampai kolom 8 (pada kolom tambahan)
kita dapatkan angka 4, selanjutnya angka pada kolom 3 dan angka pada kolom 8
(kolom tambahan) dijumlahkan sehingga
2254 + 4 = 2258.
Karena karakteristik logaritma di atas adalah 0, maka
bilangannya terletak antara 1 sampai 10 .
Jadi antilog 0,3538
= 2,258
3. log x = 1,
2711 maka x
= antilog …..
cari bilangan pada tabel
(tabel antilog) . 27
telusuri baris ke kanan sampai kolom …. Didapat angka ….. , kemudian telusuri lagi pada baris(kolom
tambahan) ke kanan sampai kolom …. Didapat angka ….
Kemudian jumlahkan didapat
….. + …. = ……
Karena karakteristik logaritma di atas adalah 1, maka bilangannya terletak antara 10
sampai 100.
Jadi antilog 1,2711
= …..
1. Gunakan tabel
log untuk menentukan nilai x
a. log x = 0,6990 b.log
x = 0,7520 c. log x = 0,8225
d. log x
= 0,9350 e.log x = 1,2923 f.
log x =
2,4099
2. Gunakan tabel
antilog untuk menentukan nilai x
a. log x
= 0,4065 b. log x = 0,4771 c.
log x = 0,5670
d. log x
= 0,3579 e. log x =
0,190 f. log x =
0,7615
LEMBAR KERJA SISWA 7
Mata Pelajaran : Matematika
Uraian
Materi Pelajaran : Sifat-sifat
logaritma dan penggunaan dalam
perhitungan aljabar
Kelas / Semester : X / Gasal
Waktu :
3 x 45 menit
___________________________________________________________
MATERI :
Sifat-sifat logaritma yang akan
dipelajari banyak digunakan untuk menentukan logaritma bilangan yang lebih dari
10 atau bilangan-bilangan antara 0 sampai 10 serta penerapannya dalam hitungan
aljabar.
Beberapa
sifat-sifat logaritma
1. Sifat : alog b = b
Contoh
: Sederhanakan logaritma berikut
a) 3 log 2 = 2 c) z log y = ...
b) 6 log 7 = ... d) 2 log 3 = ...
2. Sifat :
jika a, b, c bilangan real positif dan a ≠ 1
Contoh
: Sederhanakan dengan menggunakan sifat 2
a) 2log 4 + 2log 16 = 2log
4.16 = 2log 64 = 6
b) 7log 7 + 7log 49 = 7 log (…x…) = 7log …. = …
c) log 5 + log 2
= log (…x…)
= log … = ….
d) 3log 4 + 3log 2 = 3log( …x …) = 3log
… =
….
3. Sifat : Jika a,b dan c bilangan real positif, a ¹
1 maka
b
alog ¾ = alog
b -
alog c
c
Contoh
: Sederhanakan dengan menggunakan sifat
3
16
a. 2log 16 - 2log 4 = 2 log ¾
=
2log 4 =
2
4
9
b. 3log 9 - 3log
1/3 = 3log ¾
=
3log …. = …..
…
625
c. 5log 625 - 5log
5 =
5log ¾ =
….. = …..
….
….
d. log 100
- log 10 = log ¾ = log
…. = …..
….
Latihan 1.
Sederhanakan
dengan menggunakan sifat 1, 2 dan 3
1.
6 log 9
2.
2 log 5 + 3 log 7
3.
7 log 9 x 8 log 2
4.
5 log 7 – 6 log 3
5.
log 2 + log 6
6.
2log 8 + 2log
32
7.
8 log 32 + 8log 16 + 8log
128
8.
log 25 - log 32
9.
3log 7 ½ + 3log 5/6 + 3log (36/25)
10.
log 16 + log 25
- log 4
11.
5log 20 + 5log 15 - 5log
12
12.
2log 144 + 2log
125 -
2log 15 - 2log 150
4. Sifat :
jika b >
0 ,
n bilangan rasional maka
alog bn = n . alog
b
Contoh
:
Sederhanakan
dengan menggunakan sifat 4
a. 2log 53 = 3. 2log 5
b. log 100
= log 10… = …
log 10 =
… x 1 = …
c. 3 log 27 = 3log 3 … = …. 3log 3
= … x 1
= …
1
d. 1/2log 2–4 = 1/2log ¾ = 1/2
log (1/2)…. = ….x 1/2log
½ =
… x …= ...
24
e. 5log 1/5 = 5log 5… = … x 5log
… =
…..
5. Sifat :
Mengubah bilangan pokok logaritma
clog
b
alog b = ¾¾ jika a
>
0 , a ¹
1 , c >
0 , c ¹1
clog a
Pada
kasus khusus jika c = b
1
alog b = ¾¾
blog a
Contoh
: sederhanakan dengan menggunakan sifat
5
Log 5 0,699
a. 2 log 5 = ¾¾ = ¾¾ =
2,322
log 2
0,301
log 23 3log 2 3(0,301)
b.
3log 23 = ¾¾
= ¾¾ =
¾¾ =
1,893
log 3 0,477 0,477
log 125 log 5 … …log 5
c. jika 2log 5 =
x maka 4log 125 = ¾¾ = ¾¾ =
¾¾
log
4 log 2 … ….log2
…. …
(gunakan sifat
5) = ¾ 2log …
= ¾ x
…. …
6. Sifat : jika
a>0, a¹1,
b>0, b¹1,
c>0
alog b . blog
c =
alog c
Contoh
:
- 3log7 . 7log 81 = 3log 81 = 3log 3 … = ……
- xlog 5 . 5log y . ylog x = xlog …. = xlog x … = ….
- 7log 1/5 . 5log 49 = 7log 5 … . 5log 49 = …. 7log 5 . 5log 49
 |
( sifat … )
= … …log
…..
= ……..
Latihan 2
sederhanakan
dengan menggunakan sifat logaritma 4, 5, dan 6
log 81
1.
¾¾
log 9
2log 8
2.
¾¾
2log 2
3. 343 log 49
4.
3log 18 - 1/2log 3
5.
alog x . xlog b
6.
alog (1/x) . xlog a
7.
1/5 log 7 . 5log 49
8.
x log y2
xlog Öy
7. Sifat :
am log bm =
a log b
Contoh
:
jika
2log 3 = x , tentukan nilai
logaritma di bawah dalam x.
1.
8log 27 = 
= 2log 3 = x
= 2log 3 = x
2. 4log 9 = 2``` log 3 … = ….
= …..
3. ½ log 1/3 = log 3 … = …..
= ….
8. Sifat :
= m/n . a log b
Contoh
:
nyatakan
dalam 2 log 3 = a
1. 8log 9 = 
= 2/3 . 2log 3 =
2/3 a
= 2/3 . 2log 3 =
2/3 a
2. 16 log 27 = 
= (….) 2
log 3 =
…. a
= (….) 2
log 3 =
…. a
3. ½ log Ö3 = 
= (….) 2log
3 =
…. a
= (….) 2log
3 =
…. a
Penerapan
logaritma dalam perhitungan-perhitungan
1.
Penerapan logaritma untuk perkalian dan pembagian bilangan
Digunakan sifat logaritma
a. log (a x b )
= log a + log
b
b. log (
a/b ) =
log a - log b
Contoh :
1. hitung 38,3
x 82,97 = ….
log a
= log ( 38,3 x 82,97 )
=
log 38,3 + log
82,97 (cari dalam tabel logaritma)
= ( ….. .....) + (... …….)
log a = …….
a = antilog
…..
a = …… (cari dalam tabel
antilogaritma)
2. hitung 2,714
: 19,83 = ….
misal
a = 2,714 : 19,83
Log a
= log (2,714
: 19,83)
= log
2,714 - log 19,83
( cari dalam table logaritma)
= (……......) - (
…...…..)
log a
= ………
a =
antilog …….
a = ………..
(cari dalam table antilogaritma)
Latihan 3 A
Selesaikan bentuk perkalian dan
pembagian bilangan dengan menggunakan logaritma.
1. 6,74
x 2,95 4. 4,68 : 3,21
2. 0,236
x 0,042 5. 412,6
: 40,85
3. 8,65
x 94,37 6. 0,216
: 1,47
2. Penerapan
logaritma untuk perpangkatan dan penarikan akar.
Gunakan
sifat :
a. log ab = b . log a
b. log nÖab =
log a b/n = b/n
. log a
3. ( 23,49 ) 3 = …..
Misal
a = ( 23,49 ) 3
Log a = log ( 23,49 ) 3
= 3 . log 23,49
= 3 . (
……..) ( cari dalam table log )
= ……….
a = antilog
……
= …… (cari dalam table antilog)
4. Ö
465,7 = ….
log a = log Ö
465,7
= log
(465,7 )1/2
= ½ log 465,7
= ½
( …… ) (cari dalam table log )
log a = ……….
a = antilog
……
a = ……….
( cari dalam table antilog )
Latihan 3B
Selesaikan bentuk
perpangkatan dan penarikan akar dengan logaritma.
1. ( 3,18 )3 4. Ö
17,35
2. ( 5,864 )5 5. Ö
53
3. ( 0,875 )10 6. Ö0,8021
Selesaikan dengan
menggunakan logaritma.
1)
¾¾¾¾¾¾
3,142 x 28
0,015 x 3Ö0,19
2)
¾¾¾¾¾¾
20
0 komentar:
Posting Komentar